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《多边形的外角和》教学设计
发布者:廖治景发布时间:2021-01-16 22:21:36阅读(1591) 评论(0) 举报
北师大版八年级数学下册第六章平行四边形
6.4 多边形的外角和
广东省梅州市五华县桥江中学 廖治景
一、学情分析
在上一节的学习中,学生已经掌握了多边形的内角和公式,对如何探究内角和的问题有了一定的认识与研究,由于八年级学生的好奇心、求知欲强,互相评价、互相交流的积极性较高。因此对于学习本节内容的知识条件已经成熟,学生也具备了参与探索活动的热情,所以考虑把这节课设计成一节探索活动课。
二、教学目标
1、知识与技能
经历探索多边形的外角和定理的过程;学会应用定理解决实际问题。
2、过程与方法
培养学生把未知转化为已知进行探究的能力,在探究活动中,进一步发展学生的说理能力与简单的推理能力。
3、情感态度与价值观
让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感,在解题中感受生活中数学的存在,体验数学充满着探索和创造。
三、教学重难点
重点:多边形外角和定理的探索和应用
难点:理解多边形的内角和定理的推理,灵活运用多边形外角和定理解决简单的实际问题,体验转化的数学思想方法的渗透
四、教学过程
第一环节 创设情境,引入新课
一、复习旧知
(1)三角形的外角和外角和的定义分别是什么?三角形的外角和等于多少度呢?
A、定义:三角形内角的一边与另一边的反向延长
线组成的角叫这个三角形的外角。
B、定理:三角形的外角和等于360°
C、性质:每个外角与内角组成一个平角(180°)
(2) 多边形的外角与外角和的定义是什么?
A、定义:多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角
B、定义:多边形中取各顶点处的一个外角的和叫做多边形的外角和
(3)三角形的外角和的推导:
方法1:三角形外角和
=3×180°-180°=360°
【拓展技法】三角形的外角和等于360º (Ð1+ Ð 2+ Ð 3=360º)
【思考】:四边形的外角和又是怎么样呢?
(利用几何画板演示)---四边形的外角和不随形状大小的改变而改变。
二、问题情境:(多媒体动态演示)
清晨,小明沿一个五边形广场周围的小路,按逆时针方向跑步。
(1)小明每从一条街道转到下一条街道时,身体转过的角是哪个角?
(2)他每跑完一圈,身体转过的角度之和是多少?
(3)在上图中,你能求出∠1+∠2+ ∠3+ ∠4+∠5的结果吗?你是怎样得到的?
【设计目的】利用生活问题,设计问题情境,旨在激发学生的兴趣和积极性,同时给学生一定的思考空间,让学生体验数学源于生活,又应用于生活。
第二环节 实践探索,合作交流
对于上述的问题,如果学生能给出一些合理的解释和解答(例如利用内角和),可以按照学生的思路继续探究。然后给出“小亮的做法”或以“小亮做法”为提示,鼓励学生思考。如果学生对于这个问题无法突破,教师可以给出“小亮的做法”,或引导学生按“小亮的做法”这样的思路去思考,以便解决这个问题。
小亮是这样思考的:如图所示,过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA′,OB′,OC′,OD′,OE′,得到∠α,∠β,∠γ,∠δ,∠θ,其中,∠α=∠1,∠β=∠2,∠γ=∠3,∠δ=∠4,∠θ=∠5.
这样,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360° 结论:五边形的外角和等于360°
(利用几何画板演示)---五边形的外角和不随形状大小的改变而改变。
【问题延伸】
1.如果广场的形状是六边形那么还有类似的结论吗?
结论:∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°
2.如果广场的形状是八边形呢?
结论:∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360°
【设计目的】通过问题的解决和延伸,引发学生自主思考,由特殊到一般,培养学生解决问题的逻辑思维能力,也为多边形外角和的得出做好铺垫。
第三环节 探索归纳,问题解决
一、n边形的外角的概念
n边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个n边形的外角。
二、n边形的外角和的概念:
1、定义:在每个顶点处取这个多边形的一个外角,它们的和叫做这个n边形的外角和。
2、探究多边形的外角和,提出一般性的问题:一个任意的凸n边形,它的外角和是多少?
鼓励学生用多种方法解决这个问题,可以参考第二环节解决特殊问题的方法去解决这个一般性的问题。
方法1:类似探究多边形的内角和的方法,由三角形、四边形、五边形…的外角和开始探究;
方法2:由n边形的内角和等于(n-2)·180°出发,探究问题。
(1)还有什么方法可以推导出多边形外角和公式?
(2)利用多边形外角和的结论,能否推导出多边形内角和的结论?
(利用几何画板演示)---多边形的外角和不随形状大小的改变而改变。
【结论】多边形的外角和等于360°
【想一想】回想正多边形的性质,你知道正多边形的每个内角是多少度吗?每个外角呢?为什么?
►正多边形的定义:指各角都相等,各边都相等的多边形
►正多边形的性质:正多边形各角都相等,各边都相等
结论:正n边形的每个内角是 ;正n边形的每个内角是
第四环节 巩固练习,拓展提升
一、典例析解:
例1: 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍,这个多边形是几边形?
解:设这个多边形是n边形,则它的内角和为(n-2)﹒180°,外
角和为360°。依题意得:(n-2)﹒180°=3×360°
解得:n=8
答:这个多边形是八边形
例2: 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2,求这个多边形的边数
解法1:解:设这个多边形的内角为7x °,外角为2x°,依题意得:7x+2x=180
解得:x=20 即每个内角是140 °,每个外角是40 °
由360° ÷40 °=9,故这个多边形是多边形的边数为9
解法2:解:设这个多边形的边数为n ,依题意得:
解得:n=9
答:这个多边形的边数为9
【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大60°,求这个多边形的每个内角的度数及边数
解:设该正多边形的内角是x°,外角是y°依题意
得: 解得:
∵任何多边形的外角和是360°
∴该正多边形的边数为360÷120=3
∴这个多边形的每个内角的度数是60°,边数是三条
二、随堂练习
1、一个多边形的内角和是外角和的2倍,这个多边形是几边形?如果一个多边形的每个内角都相等,那么每个内角等于多少度?
解:这个多边形的内角和为360 °×2=720°,设这个多边形
的边数为n,则有(n-2)·180°=720°,解得:n=6
∴此多边形为六边形
每个内角为720°÷6=120°
∴这个多边形为六边形,每个内角为120°
2、在四边形的四个内角中,最多能有几个钝角?最多能有几个锐角?
解:四边形的四个内角中,最多能有3个钝角;最多能有3个锐角。(反证法):假设四边形四个内角度数分别为α°,β°,θ°,γ°,则有α+β+θ+γ=360,故α,β,θ,γ的值最多可以有3个大于90°,否则,若α,β,θ,γ都大于90°,则有α+β+θ+γ>360,与前面的结论相矛盾。同理:最多可以有3个于小于90°
3、(拓展题)在n边形的n个内角中,最多能有几个钝角?最多能有几个锐角?
解:当n=3时,最多为1个钝角,3个锐角; 当n=4时,最多为3个钝角,3个锐角;当n≧5时,最多为n个钝角,3个锐角;∵n边形的外角和都是360度. ∴锐角个数不能超过3个,否则外角和超过360°;当四边形为矩形时,4个外角和恰为360°;当边数大于4,那么外角最多只能有3个直角,否则外角和超过360°
【设计目的】设计以上第2、3道问题,对于新授课上的学生而言,难度是比较大的。因为之前不管是多边形的内角和还是外角和,基本上都是利用等式,从“正向”解决数学问题。而这里要解决的此问题,需要用到简单的不等式知识和“反证法”的数学思想方法,对于初次接触此问题的学生而言,难度是比较大的。设计此题目的旨在开拓学生思维、培养学生的逻辑推理与综合分析的能力。
第五环节 概括总结,评价反思
本节教学设计首先通过对三角形外角和复习探究,总结解题技法,接着提出四边形、五边形等多边形的外角和等问题,引导学生采用“类比与转化”的方法深入探究多边形的外角和定理,师生共同经历多边形的外角和的探索过程,相互交流、反思、总结。对本节的重点知识进生变式训练,巩固拓展,巩固解题技法,渗透转化、方程等的数学思想方法。本节重点掌握如下几点:1、多边形的外角及外角和的定义;2、多边形的外角和等于360°;3、在探求过程中我们使用了观察、归纳的数学方法,并且运用了类比、转化及方程等数学思想方法。
五、教学反思
本节的设计突出对多边形的外角和定理的探究与推导过程,先三角形 四边形 五边形 n边形,逐层深入,归纳总结。探究过程既有类比于三角外角和的方法,又有承接多边形内角和的新方法;既是新知识的学习过程,又是旧知识的拓展过程,这样的设计一定能够达到教学目标的三个维度的要求。此外,可以考虑增加一些课堂中的习题量及设计练习题的梯度,以满足不同层次的学生的需求,帮助学生巩固新知识。通过本节课的学习探究过程让学生掌握基本的数学知识的基础上,学会自主探究的技能,掌握类比、转化、方程等数学思想方法的动作,提高数学课堂的教学效率。