作者其他文章
《二次函数的应用》第一课时
发布者:蔡光明发布时间:2023-03-12 15:54:52阅读(54) 评论(0) 举报
2022年梅江区中学数学青年教师能力大赛
教学设计
学校 | 梅州中学 | 科目 | 数学 | 设计者 | 蔡光明 | |||
教学对象 | 初三级 | 教材版本 | 北师大版 | 设计时间 | 2022-10-8 | |||
教师内容 | 北师大版九年级数学下册第二单元第四节《二次函数的应用》第一课时 | |||||||
一、教学内容分析 | ||||||||
《二次函数的应用》是北师大版九年级数学下册第二单元第四节的教学内容。二次函数是描述现实世界变量关系的重要数学模型,也是一类最优化问题的数学模型,本章在前面已经研究了二次函数的图象及其性质,本节课在继续研究二次函数图象与性质的同时进一步让学生了解用二次函数知识求实际问题中面积最大问题。 | ||||||||
二、教学目标 | ||||||||
1. 知识与技能:经历探究矩形最大面积问题和窗户透光最大面积问题的过程,进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验,感受数学模型思想和数学知识的应用价值.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值. 2. 过程与方法:1.能够分析实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值,发展学生解决问题的能力,学会用建模的思想去解决其他和函数有关的应用问题. 3. 情感态度与价值观:1.在进行探索的活动过程中发展学生的探究意识,逐步养成合作交流的习惯.体会数学在生活中广泛的应用价值,激发学生学习数学的兴趣、增强自信心. | ||||||||
三、学情分析 | ||||||||
九年级学生经过对二次函数的学习,对其图像与性质已经比较熟悉,对于用二次函数图像解决实际问题还有一定的难度,此阶段的学生有比较强烈的“自我”和自我发展的意识,因此对有挑战性的任务很感兴趣,这使得我们在学习素材的选取与呈现以及学习活动的安排上, 除了关注数学的用处之外也应当设法给学生经历“做数学”的机会,使他们能够在这些活动中表现自我发展自我. | ||||||||
四、教学策略选择与设计 | ||||||||
教学由复习二次函数的性质开始,接着通过新农村建设的美丽乡村图片,创设三个新农村建设过程中遇到的实际问题:花圃最大面积、鱼塘最大面积、窗户最大面积,通过对上述问题的解答,让学生学会分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,运用二次函数的有关知识解决最大面积问题,发展学生解决问题的能力。最后通过类比三个问题的解答共性,归纳出利用二次函数解答几何面积最大值问题的数学模型,感受数学模型思想并学会用建模的思想去解决其他和函数有关的应用问题. | ||||||||
五、教学重点及难点 | ||||||||
1.教学重点:能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题. 2.教学难点:能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值. | ||||||||
六、教学过程 | ||||||||
一、温顾知新 | 二次函数一般式:y=ax²+bx+c
| |||||||
教师活动 | 学生活动 | |||||||
教师播放课件引导学生温习。 | 学生齐声回答。 | |||||||
设计意图 | 引导学生复习二次函数的性质引导学生进入二次函数的最值问题。 | |||||||
二、 新课 探索 | 问题一:花圃最大面积 小兰爸爸要在院子的空地上修建一个矩形的花圃(如图所示).花圃的一边利用院墙(墙的最大可用长度为6米),另外三边用篱笆围成,篱笆总长为20米.设AB的长为x米,矩形花圃的面积为y平方米. (1) AB的长为x米,则BC的长为__________米, y关于x的函数表达式为_________. (2)当x=_________时,y有最大值_________. | |||||||
教师活动 | 学生活动 | |||||||
(1)强调条件:“最大可用长度12米”. (2)求自变量取值范围. (3)展示利用二次函数关系解答最值问题的过程. (4)强调实际问题要考虑自变量的取值范围. | 生:独立解决并回答.
| |||||||
设计意图 | 理解几何面积最值问题中二次函数关系建立的过程;初步体会利用二次函数的最值求解面积最大问题的方式;明确问题解决时要考虑自变量取值范围,并在范围内确定二次函数最大值. | |||||||
二、 新课 探索 | 问题二:鱼塘最大面积 小兰家屋后有一块直角三角形的荒地(如图).爷爷想要挖一个矩形鱼塘养鱼 .小兰帮助爷爷设计了方案:在直角三角形内部作了一个矩形ABCD,AB、AD分别在两直角边上. (1)如果设矩形的一边AB = x m,用含x的代数式表示AD. (2)设矩形面积为y㎡,当AB为多少时,鱼塘面积最大,最大面积是多少?
| |||||||
教师活动 | 学生活动 | |||||||
教师引导学生思考下面的问题: 1.△EBC和△EAF有什么关系? 2.如果设矩形的一边AB=x m,那么AD边的长度如何表示? 3.如何表示矩形ABCD的面积? 4.若矩形的面积为y m2,如何确定矩形ABCD面积的最大值?
| 老师引导学生逐题解决,学生独立思考,然后与同伴交流,最后在小组交流中统一思路,代表展示: 解:
| |||||||
【教师设疑】 如果设AD边的长为x m,那么问题会怎样呢?与同伴交流. 要求面积需求AB边的长,而AB=DC,所以需要求DC的长度,而DC是△FDC中的一边,所以可以利用三角形相似来求 | 小组讨论后,统一想法. 解:
| |||||||
设计意图 | 从矩形的面积公式入手,利用相似三角形的性质表示出另外一条边,才能列出函数表达式,这一过程先由学生独立思考后,分组合作探究、交流,帮助个别存在困难的同学解决.此题的思路也是解决矩形最大面积问题最常用的方法. | |||||||
二、 新课 探索 | 课件出示:
在上面的问题中,如果把矩形改为如图所示的位置,其他条件不变,那么矩形的最大面积是多少?你是怎样知道的? | |||||||
教师活动 | 学生活动 | |||||||
通过观察,想一想此图形和上面图形的区别,判断是否也可以利用相似解决.经过讨论交流,一部分学生得出:可以利用相似三角形对应高的比等于相似比解决.对于感觉有难度的学生,老师给予提示:可以过点G作GN⊥EF于点N,交AD于点M.
学生解答后,老师课件出示解题过程,供学生订正,规范学生的解题步骤.
| 学生先尝试独立解答,仍感觉有困难的学生可以求助同学或老师.
| |||||||
设计意图 | 既加深了旧知的复习应用,又在比较中总结表示线段的多种方法,让学生体会到类比解题,在同中找异. | |||||||
二、 新课 探索 | 问题三:窗户最大面积 小兰妈妈想把家里客厅的窗户装成如图的形状.它的上半部分是半圆,下半部分是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m . (1)用含x的代数式表示y. (2)求x的取值范围.(取3) (3)x等于多少时,窗户通过的光线最多?(结果精确到0.01m)此时,窗户的面积S是多少?(结果精确到0.01 ㎡ ) | |||||||
教师活动 | 学生活动 | |||||||
(1)巡视学生独立、交流完成情况,了解学情. (2)点拨引导,帮助学生、小组解决部分思路上的漏洞. (3)在学生汇报过程中,完善问题解决思路,规范解答过程. 师:求透过窗户的光线最多,也就是求矩形和半圆的面积之和最大,矩形的面积为2xy,即2x·,半圆的面积为πx2,所以窗户的面积为S=πx2+2x·,求出函数最大值即可. 师:点评:确定自变量x的取值范围时,往往需要解不等式组. | 生:(1)独立解决. (2)交流、板演、讲解. 解:∵7x+4y+πx=15, ∴y=. ∵0<x<15,且0<<15, ∴0<x<1.48. 设窗户的面积是S m2,则: S=πx2+2xy =πx2+2x· =-x2+x=-+. ∴当x=≈1.07时,S最大=≈4.02. 因此当x约为1.07 m时,窗户通过的光线最多,此时,窗户的面积约为4.02 m2. | |||||||
设计意图 | 通过“窗户最大面积”,将 “最大面积”问题延伸到一般的几何图形(半圆与矩形的组合).由于学生刚开始接触最大面积问题,缺少解决综合问题的经验,因此设计中将问题做了两步铺垫:先用含自变量x的代数式表示y,再求自变量的取值范围.学生的学习过程凸出独立思考与合作交流相结合,在学生板演、讲解的基础上完善 “几何图形最大面积”解决的思路. | |||||||
三、 课堂小结 | (三步骤归纳
| |||||||
教师活动 | 学生活动 | |||||||
将前面三个问题放在一起进行对比,逐步梳理,形成“几何图形最大面积”解决的一般步骤. (板书步骤重点) (1)引入自变量x,用含x的代数式表示另一相关量; (2)确定自变量x的取值范围; (3)构造关于x的二次函数; (4)求出二次函数最大值; (5)写出结论. | 通过“小结步骤”,将前三个问题对比展示,让学生再次经历解决“几何图形最大面积”问题的直观体验,掌握解决这类问题的步骤. | |||||||
八、板书设计 | ||||||||
|
教 学 设 计
学校:梅州中学
教师:蔡 光 明